睡什麼覺？
趕緊起來嗨！
今天，我要講講我和蒼井空的故事。
FBI Warning：未成年人請在家長陪同下觀看。
德藝雙馨的蒼老師是我的啟蒙老師。初入大學，暫時擺脫高考的巨大壓力後，終於可以放飛自我。在那個草長馬發情的年代，無數個月光如水的燥熱夜晚，蒼老師的課件一次次給我以直逼心靈的撫慰。
嗯，這就是蒼老師本尊了。為了表達我對蒼老師的敬意，送她一副對聯。
上聯是：膚如凝脂唇紅齒白花容月貌傾國傾城千嬌百媚。
下聯是：愛崗敬業任勞任怨廢寢忘食一絲不苟精益求精。
橫批：德藝雙馨。
作為她的鐵粉，我想把這張照片畫出來，或者雕刻出來，使她出現在我手中，免受隔著屏幕的煎熬。
想複製蒼老師的美，首先要在整體尺寸上保持相同。如下：
緊接著，要在第一步的基礎上進一步細化、精確化。所以第二步就要保證和蒼老師本尊的局部形狀相似。改進後就變成了如下：
嗯，儘管這時候很粗糙，但至少已經有了婀娜多姿的影子了。下一步幫蒼老師畫上bra和胖次，再加上髮型，並且把大腿、小腿、腳的分界線畫上。下圖：
此時，蒼老師的特徵已經非常明顯了，彷彿就要呼之欲出了，尤其那道事業線，使我彷彿看到一對大白在調皮地跳躍。我要繼續努力，進一步細化，進一步使我手中的蒼老師變得真實。
此時手中的蒼老師外部線條更加細膩了，整體豐滿了，僅有的服飾上增加了一些細節。如果不斷地細化，畫上五官，增加質感，添加紋理，那麼進行無窮次細化之後，我筆下的蒼老師一定會無窮接近真實。最終會變成這個樣子：
當然，我沒能有足夠的時間繼續細化下去，我那年的青春已經隨著她的退役而完結，只是，我仍會在某個無眠的夜裡回憶起蒼老師認真工作的身影，回憶起我那年的青澀和成長，回憶起那年的憧憬和迷茫，回憶起我那年的生命曾經因為蒼老師的出現而灼灼其華。
謹以此文獻給已經結婚的蒼老師。
好了，大家都精神了吧。現在開始進入正題。
本段的核心思想是仿造。
當我們想要仿造一個東西的時候，無形之中都會按照上文提到的思路，即先保證大體上相似，再保證局部相似，再保證細節相似，再保證更細微的地方相似……不斷地細化下去，無窮次細化以後，仿造的東西將無限接近真品。真假難辨。
這是每個人都明白的生活經驗。
一位數學家，泰勒，某天看到一個函數，不由地眉頭一皺，心裏面不斷地犯嘀咕：有些函數啊，他就是很噁心，比如這種，還有三角函數，這樣的函數本來具有很優秀的品質（可以無限次求導，而且求導還很容易），但是呢，如果是代入數值計算的話，就很難了。比如，看到 y=cosx後，我無法很方便地計算 x=2時候的值。
為了避免這種如鯁在喉的感覺，必須得想一個辦法讓自己避免接觸這類函數，即把這類函數替換掉。
可以根據這類函數的圖像，仿造一個圖像，與原來的圖像相類似，這種行為在數學上叫近似。不扯這個名詞。講講如何仿造圖像。
他聯想到生活中的仿造經驗，聯想到物理學家考慮運動學問題時的經驗，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整體思路。（下面這段只需要理解這個大概意思就可以，不用深究。）
面對 f(x)=cosx 的圖像，泰勒的目的是：仿造一段一模一樣的曲線 g(x)，從而避免餘弦計算。
想要複製這段曲線，首先得找一個切入點，可以是這條曲線最左端的點，也可以是最右端的點，anyway，可以是這條線上任何一點。他選了最左邊的點。
由於這段曲線過 (0,1)這個點，仿造的第一步，就是讓仿造的曲線也過這個點。
完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出來這倆有什麼相似的地方，那就繼續細節化。開始考慮曲線的變化趨勢，即導數，保證在此處的導數相等。
經歷了第二步，現在起始點相同了，整體變化趨勢相近了，可能看起來有那麼點意思了。想進一步精確化，應該考慮凹凸性。高中學過：表徵圖像的凹凸性的參數為「導數的導數」。所以，下一步就讓二者的導數的導數相等。
起始點相同，增減性相同，凹凸性相同後，仿造的函數更像了。如果再繼續細化下去，應該會無限接近。所以泰勒認為「仿造一段曲線，要先保證起點相同，再保證在此處導數相同，繼續保證在此處的導數的導數相同……」
有了整體思路，泰勒準備動手算一算。
下面就是嚴謹的計算了。
先插一句，泰勒知道想仿造一段曲線，應該首先在原來曲線上隨便選一個點開始，但是為了方便計算，泰勒選擇從 (0,1) 這個點入手。
把剛才的思路翻譯成數學語言，就變成了：
首先得讓其初始值相等，即： g(0)=f(0)
其次，得讓這倆函數在x=0處的導數相等，即： g′(0)=f′(0)
再次，得讓這倆函數在x=0處的導數的導數相等，即： g″(0)=f″(0)
……
最終，得讓這倆圖像在x=0的導數的導數的導數的……的導數也相同。
這時候，泰勒思考了兩個問題：
第一個問題，餘弦函數能夠無限次求導，為了讓這兩條曲線無限相似，我仿造出來的 g(x)必須也能夠無限次求導，那g(x)得是什麼樣類型的函數呢？
第二個問題，實際操作過程中，肯定不能無限次求導，只需要求幾次，就可以達到我想要的精度。那麼，實際過程中應該求幾次比較合適呢？
綜合考慮這兩個問題以後，泰勒給出了一個比較折中的方法：令 g(x)為多項式，多項式能求幾次導數呢？視情況而定，比如五次多項式
能求5次導，繼續求就都是0了，幾次多項式就能求幾次導數。
泰勒比我們厲害的地方僅僅在於他想到了把這種生活經驗、翻譯成數學語言、並運用到仿造函數圖像之中。假如告訴你這種思路，靜下心來你都能自己推出來。
泰勒開始計算，一開始也不清楚到底要求幾階導數。為了發現規律，肯定是從最低次開始。
先算個一階的。
可以看出，除了在 (0,1)這個點，其他的都不重合，不滿意。
再來個二階的。
可以看出，在 (0,1)這個點附近的一個小範圍內，二者都比較相近。
再來個四階的。
可以看出，仍然是在 (0,1)這個點附近的一個範圍內二者很相近。只是，此時二者重合的部分擴大了。
到這裡，不光是泰勒，我們普通人也能大概想像得到，如果繼續繼續提高階數，相似範圍繼續擴大，無窮高階後，整個曲線都無限相似。插個圖，利用計算機可以快速實現。
然而泰勒當時沒有計算機，他只能手算，他跟我們一樣，算到四階就算不動了，他就開始發獃：剛才為什麼這麼做來著？哦，對了，是為了計算 cos2 的時候避免出現餘弦。所以他從最左端 (0,1) 處開始計算，算著算著，他沒耐心了，可是離著計算 x=2還有一段距離，必須得繼續算才能把這倆曲線重合的範圍輻射到 x=2處。
此時，他一拍腦門，恍然大悟，既然我選的點離著我想要的點還遠，我為啥不直接選個近點的點呢，反正能從這條曲線上任何一個點作為切入，開始仿造。近了能省很多計算量啊。想計算 cos2 ，可以從 cos(π/2)處開始仿造啊。
所以啊，泰勒展開式就是把一個三角函數或者指數函數或者其他比較難纏的函數用多項式替換掉。
也就是說，有一個原函數f(x)，我再造一個圖像與原函數圖像相似的多項式函數g(x) ,為了保證相似，我只需要保證這倆函數在某一點的初始值相等，1階導數相等，2階導數相等，……n階導數相等。
寫到這裡，你已經理解了泰勒展開式。
如果能理解，即使你記不住泰勒展開式，你都能自己推導。所以，我建議你，考試之前臨時死記硬背一下，即使考試因為緊張忘了，也可以現場推。如果不是為了考試，那記不住也沒關係，反正記住了一段時間不用，也會忘。用的時候翻書，找不到書就自己推導。
繼續說泰勒。
泰勒算到四階以後就不想算了，所以他想把這種計算過程推廣到n階，算出一個代數式，這樣直接代數就可以了。泰勒就開始了下面的推導過程。
首先要在曲線 f(x) 上任選一個點，為了方便，就選 （0，f(0)） ,設仿造的曲線的解析式為g(x) ，前面說了，仿造的曲線是一個多項式，假設算到n階。
能求n次導數的多項式，其最高次數肯定也為n。所以，仿造的曲線的解析式肯定是這種形式：
前面說過，必須保證初始點相同，即，求出了
接下來，必須保證n階導數依然相等，即
因為對 g(x)求n階導數時，只有最後一項為非零值，為，
由此求出
求出了，剩下的只需要按照這個規律換數字即可。
綜上：
知道了原理，然後把原理用數學語言描述，只需要兩步即可求出以上結果。背不過推一下就行。
泰勒推到這裡，又想起了自己剛才那個問題：不一定非要從x=0的地方開始，也可以從開始。此時，只需要將0換成，然後再按照上面一模一樣的過程重新來一遍，最後就能得到如下結果：
泰勒寫到這裡，長舒一口氣，他寫下結論：
有一條解析式很噁心的曲線 f(x)，我可以用多項式仿造一條曲線 g(x)，那麼
泰勒指出：在實際操作過程中，可根據精度要求選擇n值，只要n不是正無窮，那麼，一定要保留上式中的約等號。
若想去掉約等號，可寫成下面形式：
好了，泰勒的故事講完了。其實真正的數學推導只需要兩步，困難的是不理解思想。如果背不過，就臨時推導，只需要十幾二十秒。
再說最重要的一點，對於非數學系的理工科學生來說，永遠都要記住，數學家都是凡人，你所接觸到的所有數學知識，都來源於某一種數學思想，所有的數學思想都來源於生活經驗。而這種生活經驗，我們每個人都有，即使沒有，也會很容易就能想通。
所以，你內心要有一種信仰，所有的數學思想都來源於生活經驗，你肯定可以搞明白。學習數學，最忌諱的就是把它當作一種抽象的數字遊戲，非數學系的理工科接觸到的數學，必然有一條條形象的、直觀的生活經驗與之對應。
之所以覺得微積分困難，可能怪老師，可能怪課本，一開始就堆砌一堆晦澀難懂拗口的數學語言，對於初學者來說，直接就望而卻步了。如果老師講泰勒展開之前，先把這種思想講明白，那接下來再去摳數學語言就輕鬆很多。
本文作者：陳二喜，北京大學航空航天系博士在讀。性別男，愛好玩，二旬老漢，博士前，頤和園路捉過鬼，北海公園划過船。
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